Давид Гільберт

Давид Гільберт (нім. David Hilbert; 23 січня 1862 — 14 лютого 1943) — німецький математик. У 1910—1920-их роках (після смерті Анрі Пуанкаре) був визнаним світовим лідером математиків.

Давид Гільберт

Стаття у Вікіпедії

Медіафайли у Вікісховищі

Цитати

Він став поетом — для математика у нього не вистачило фантазії. — Про одного зі своїх учнів.

У кожної людини є певний світогляд. Коли цей кругозір звужується до нескінченності малого, то він перетворюється в точку. Тоді людина і каже, що це є її точка зору.

Все те, що взагалі може бути предметом наукового мислення, повинне, оскільки воно вже достатньо визріло для утворення теорії, підпорядковуватись аксіоматичному методові, а отже, посереднім чином і математиці.

Безперечно, що перші й найдавніші проблеми кожної галузі математичного знання виникли з досвіду, зі світу зовнішніх явищ. Навіть правила лічби з цілими числами відкрито в такий спосіб ще на ранньому щаблі культурного розвитку людства — так само, як і тепер дитина пізнає застосування цих правил емпіричним шляхом.

При подальшому розвитку будь-якої математичної дисципліни людський розум, підохочений досягненнями, діє вже самостійно: він сам ставить нові й плідні проблеми, часто без помітного впливу зовнішнього світу, за допомогою лише логічного зіставлення, узагальнення, спеціалізування, вдалого розчленування і групування понять, і виступає опісля сам на перший план як постановник задач. Так виникла задача про прості числа та інші задачі арифметики, теорія Галуа, теорія алгебраїчних інваріантів, теорія абелевих і автоморфних функцій, і так виникали взагалі майже всі тонкі питання сучасної теорії чисел та теорії функцій.

Математика — це вчення про відношення між формулами, позбавленими будь-якого змісту.

Математична наука, на мою думку, становить неподільне ціле, організм, життєздатність якого зумовлена зв'язком між його частинами. Незважаючи на всю різноманітність знань у різних ділянках математики, ми ясно бачимо тотожність логічних допоміжних засобів, спорідненість ідей у математиці як цілому і численні аналогії в її різних галузях. Ми також помічаємо, що чим далі розвивається математична теорія, тим гармонійнішою і одноріднішою стає її будова, і між доти відокремленими галузями науки відкриваються несподівані зв'язки. Тому виходить, що при розбудові математики її єдиний характер не тільки не губиться але навпаки, проступає дедалі виразніше.

Цілісний характер математики умовила внутрішня сутність цієї науки: адже математика — основа всього точного природознавства.

Без математики сучасна астрономія і фізика неможливі; у своїй теоретичній частині ці науки, так би мовити, розчиняються в математиці.

Доведення існування, які використовують закон виключеного третього мають здебільшого особливу чарівність завдяки дивовижній стислості й витонченості. Відібрати в математиків закон виключеного третього — це те саме, що забрати в астрономів телескоп чи заборонити боксерам користуватися кулаками. Заборона теорем існування і закону виключеного третього майже рівнозначна цілковитій відмові від математичної науки.

Хибно було б вважати, що строгість у доведенні — ворог простоти. Навпаки, численні приклади засвідчують, що суворі методи водночас і найпростіші, і найзрозуміліші. Саме завдяки прагненню до строгості ми й знаходимо простіші доведення.

У новітній математиці доведення неможливості розв'язання певних проблем відіграють неабияку роль; ми констатуємо, що такі давні й важкі проблеми, як доведення аксіоми про паралельні, як квадратура круга або розв'язання рівняння п'ятого степеня в радикалах, все ж таки чітко й досить задовільно розв'язано, хоч і в іншому напрямку, аніж спочатку гадалося. Цей дивовижний факт, поряд з іншими філософськими підставами, приводить нас до переконання (яке поділяє кожен математик, хоч нікому ще не пощастило підтвердити це доведенням), що будь-яка певна математична проблема неодмінно піддається точному доведенню, чи то у формі конкретної відповіді на поставлене запитання, чи то у вигляді доказу, що розв'язання її неможливе, тобто що всі спроби її розв'язати неминуче будуть невдалі… Переконання в тому, що будь-яку математичну проблему можна розв'язати, дуже допомагає роботі дослідника. Шукайте розв'язки проблеми! Ви зможете знайти її за допомогою чистого розуму, бо в математиці не існує «ignorabimus» (Е. Дюбуа-Реймон в одній промові щодо деяких нез'ясованих наукових проблем висловився так: «Ignoratus et ignorabimus», тобто: «Ми не знали й не знатимемо»).

Математик повинен — як це й зроблено в геометрії — брати до уваги не тільки факти реальної дійсності, а й усі логічно можливі теорії; він повинен бути особливо уважним до того, щоб дістати якнайповніший огляд сукупності наслідків, що випливають із прийнятої системи аксіом.

Якщо нам не щастить розв'язати математичну проблему, то часто це спричинене тим, що ми не встигли належно опанувати загальну точку зору, з якої розглядувана проблема виявиться лише окремого ланкою в ланцюгу споріднених проблем… [З другого боку,] можливо, що в більшості випадків, коли ми даремно шукаємо відповіді на питання, причиною цього є те, що ще не розв'язано або не повністю розв'язано простіші й легші проблеми, ніж дана.

Вимога точності, широковідома в математиці, відповідає загальній філософській потребі нашого розуму; з другого боку, тільки заспокоївши цю вимогу, ми можемо повністю з'ясувати значення, яке має сутність та плідність задачі.

Той, хто шукає методів, не маючи на увазі якоїсь конкретної задачі, здебільшого зазнає невдачі.

Треба завжди вміти сказати замість «точки, прямі лінії, площини» — «столи, стільці, кухлі на пиво».

Один давній французький математик сказав: «Математичну теорію можна вважати досконалою тільки тоді, коли вона досить ясна, щоб зміст її легко міг засвоїти будь-хто сторонній». Цю вимогу ясності й легкої приступності, тут так гостро поставлену щодо математичної теорії, я ще гостріше поставив би щодо математичної проблеми, яка претендує на досконалість: адже ясність і легка приступність нас приваблюють, а ускладненість і заплутаність відштовхують. Математична проблема, далі, повинна бути досить важка, щоб нас спокусити, але водночас і не зовсім недосяжна, щоб не виявилися марними наші зусилля; вона повинна бути провідним знаком на поплутаних стежках до прихованих істин, повинна, нарешті, нагадувати про втіху, яку дарує нам знайдена розв'язка.

Геометрія — це не що інше, як та частина всієї будівлі понять фізики, що відображає можливі співвідношення взаємного розміщення твердих тіл у світі дійсних речей.

Спочатку був символ.

Математичні дослідження дають нам так звану еліптичну геометрію — природну модель скінченного світу.

Однорідний континуум, який мав би допускати необмежений поділ і тим самим реалізовувати нескінченне в малому, насправді ніде не трапляється.

Ніхто не зможе вигнати нас із раю, що його створив нам Кантор.

Оперування з нескінченним може стати надійним тільки через скінченне.

Математичний аналіз можна в певному розумінні назвати єдиною симфонією нескінченного.

Жодна проблема не хвилювала так глибоко людську душу, як проблема нескінченного, жодна ідея не виявила такого сильного та плідного впливу на розум, як ідея нескінченного. Але, з другого боку, жодне поняття не потребує такою мірою з'ясування, як поняття нескінченного.

Найперспективніше і найвизначніше досягнення минулого [XIX] століття — відкриття неевклідової геометрії.

Джерела

Математика в афоризмах, цитатах і висловлюваннях / Н. О. Вірченко. — Київ: Вища школа, 1974. — 272 с.